Question

己知矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于E，OE：ED=1：3，AE=，AB：AD=    ．

Answer 1

【答案】分析：作出圖形，分①點(diǎn)E在BO上時(shí)，根據(jù)OE：ED求出點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，然后根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求出△ABO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ABO=60°，然后利用60°角的余切值解答；②點(diǎn)E在OD上時(shí)，設(shè)OE為x，根據(jù)比例表示出ED的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等表示出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出求出x²，再利用勾股定理求出AD、AB的長(zhǎng)，即可得解．
解答：解：①如圖1，點(diǎn)E在BO上時(shí)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵OE：ED=1：3，
∴BE=OB-OE=OD-OE=（ED-OE）-OE=3OE-OE-OE=OE，
∴BE=OE，
∴AE∥OB且平分OB，
∴AO=AB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴AB：AD=tan∠ABO=cot60°=；
②如圖2，點(diǎn)E在OD上時(shí)，設(shè)OE為x，
∵OE：ED=1：3，
∴ED=3x，BE=OE+OB=x+（x+3x）=5x，
由直角三角形的性質(zhì)，△ADE∽BAE，
∴=，
即=，
解得x²=，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，AD===，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB===，
所以，AB：AD=：=．
綜上所述，AB：AD=或．
故答案為：或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，注意要分情況討論求解．