Question

13．如圖，點C、D在以AB為直徑的⊙O上，AD平分∠CAB
（1）求證：AC∥OD．
（2）若AC=7，AB=25，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由角平分線和圓周角定理得出$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，證出∠CAB=∠BOD，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=24，證明OE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出OE=$\frac{1}{2}$AC=3.5，求出DE=OD-OE=9，由勾股定理求出BD，再由勾股定理求出AD即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠CAB=∠BOD，
∴AC∥OD；
（2）解：連接BC、BD，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，OD=$\frac{1}{2}$AB=12.5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}$=24，
∵AC∥OD，OA=OB，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=12，OD⊥BC，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=3.5，
∴DE=OD-OE=9，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=15，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-1{5}^{2}}$．

點評 本題考查了圓周角定理、勾股定理以及三角形中位線定理；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．