Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作⊙O的切線，交AC于F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若AB=10，AE=6，求BD的長度．

Answer 1

分析 （1）連接AD，OD，由AB是⊙O的直徑，得到AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接BE，根據(jù)勾股定理得到BE=8，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切線，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：連接BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE⊥AC，
∵AB=10，AE=6，
∴BE=8，
∵AC=AB=10，
∴CE=4，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．