Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線：交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)

①在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

②若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在直線上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ， ， ；（3）或

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線：中即可求出直線的解析式；

（2）①先假設(shè)存在點(diǎn)Q，則以A,P,B,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，再利用菱形的性質(zhì)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可，如果能求出來，說明存在，反之則不存在；

②要求DM的直線必須知道點(diǎn)M的坐標(biāo)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)必須把它放到直角三角形中去求.利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)和等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形及銳角三角函數(shù)解題即可.

解：（1）將代入得，

，

解得

所以，直線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）①直線l中，令x=0,y=,∴OB=

由勾股定理得

若AP為對角線時(shí)，有兩種情況：

∵BP∥AQ

∴Q點(diǎn)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相同

∵四邊形ABPQ是菱形

∴AQ=AB=8

若點(diǎn)P在點(diǎn)B上端，則Q的坐標(biāo)為（4,8）

若點(diǎn)P在點(diǎn)B下端，則Q的坐標(biāo)為（4,-8）

若AB為對角線

∵四邊形APBQ為菱形

設(shè)AB,PQ交于點(diǎn)D

∴AB⊥PQ，

∴tan∠OBA=

∴∠OBA=30°

∵PB∥AQ

∴∠BAQ=30°

在Rt△ADQ中，

∴

∴Q的坐標(biāo)為

若BP為對角線

∵四邊形ABQP為菱形

∴BP⊥AQ,AO=OQ

∴Q的坐標(biāo)為

綜上所述，這樣的Q點(diǎn)有4個(gè)，分別是

， ，

②點(diǎn)D與C點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，所以D的坐標(biāo)為（-2,0）

如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，

將及CD邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)與重合，則，，作MQ⊥AD于點(diǎn)Q

∵CD=CE,

∴為等邊三角形

∴點(diǎn)在的中垂線上，即在軸上，于是

∵∠MCP=∠DCE=60°

∴∠MCP+∠PCD=∠DCE+∠PCD

∴∠MCD=∠PCE

在△MCD和△PCE中

∴△MCD≌△PCE（SAS）

∴

在Rt△AMQ中，

∵∠BAO=60°

∴tan60°=

設(shè)AQ=x,則MQ=

在Rt△DMQ中，

解得

∴

∴

設(shè)DM的直線方程為

將D（-2,0），代入直線方程中

解得

所以，直線DM的函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，同理可得直線的函數(shù)表達(dá)式為