Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為A的拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，已知A(1，4)，B(3，0)．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F，M是BE的中點(diǎn)，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請(qǐng)說明理由；

(3)應(yīng)用：如圖2，P(m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點(diǎn)，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點(diǎn)M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．提示：若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由見解析；(3)點(diǎn)N(，﹣)．

【解析】

(1)函數(shù)表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，將點(diǎn)B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

(2)利用同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，即可求解；

(3)由(2)知：點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，根據(jù)C,P點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并聯(lián)立方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而即可求N點(diǎn)的坐標(biāo)．

(1)函數(shù)表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，

將點(diǎn)B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，

解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x﹣3；

(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由：

如圖1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，

S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四邊形OMAD＝S△OBM，

∴S△OME＝S△OBM，

∴S四邊形OMAD＝S△OBM；

(3)設(shè)點(diǎn)P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，

解得：m＝﹣1或4，故點(diǎn)P(4，﹣5)；

如圖2，故點(diǎn)D作QD∥AC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

由(2)知：點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

所以直線PC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…①，

同理可得直線AC的表達(dá)式為：y＝2x+2，

直線DQ∥CA，且直線DQ經(jīng)過點(diǎn)D(0，3)，

同理可得直線DQ的表達(dá)式為：y＝2x+3…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，即點(diǎn)Q(﹣，)，

∵點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)公式得：點(diǎn)N(，﹣)．