Question

如圖拋物線y=-

3

3

x2-

2

3

3

x+

3

，x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC：
①求E點(diǎn)坐標(biāo)；
②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由；
（3）試探索：在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）依題意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐標(biāo)易求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，又因?yàn)樗倪呅蜛EBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形．
（3）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接′'D與直線BC交于點(diǎn)P．則可得點(diǎn)P是使△PAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，然后求出直線A′D，直線BC的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

，
令x=0，得y=

3

令y=0，
即-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

=0，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（1，0），C（0，

3

）（3分）

（2）①過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵C（0，

3

），
∴EF=

3

，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-

3

）（5分）
②四邊形AEBC是矩形．
理由：四邊形AEBC是平行四邊形，且∠ACB=90°（7分）

（3）存在．（8分）
D（-1，

4 3

3

）
作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D與直線BC交于點(diǎn)P．
則點(diǎn)P是使△PAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)．（10分）
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=

3

，
∴A′F=2

3

，
∴求得A′（3，2

3

）
過A′、D的直線y=

3

6

x+

3 3

2

過B、C的直線y=-

3

x+

3

兩直線的交點(diǎn)P（-

3

7

，

10 3

7

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，難度中上．