Question

（2013•臨汾二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，已知A（2，0）、C（1，3

3

），將△OAC繞AC的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置，拋物線y=ax²-2

3

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）判斷點(diǎn)B是否在拋物線上；
（3）若點(diǎn)P是x軸上A點(diǎn)左邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使△MAD的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，即可得解；
（2）先判斷出四邊形OABC是平行四邊形，然后求出BC∥OA，BC=AO，再根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后解直角三角形求出∠BOE=∠DAF=60°，然后求出OA、AD、AB，再分①∠APD=∠OAB時(shí)△APD和△OAB相似，②∠APD=∠OBA時(shí)△APD和△OBA相似，分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AP的長(zhǎng)，再求出OP，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（4）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，確定出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后求出直線A′D與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M．

解答：解：（1）將A（2，0）代入y=ax²-2

3

x得，
4a-4

3

=0，
解得a=

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

x²-2

3

x；

（2）由旋轉(zhuǎn)知，四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3

3

），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3

3

，
∴B（3，3

3

），
將B（3，3

3

）代入y=

3

x²-2

3

x得，

3

×3²-2

3

×3=3

3

，
∴點(diǎn)B在拋物線上；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，
由y=

3

x²-2

3

x=

3

（x-1）²-

3

得頂點(diǎn)D（1，-

3

），
∵B（3，3

3

），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE=

BE

OE

=

3 3

3

=

3

，
tan∠DAF=

DF

AF

=

3

2-1

=

3

，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB=

32+(3 3 )2

=6，
AD=

(2-1)2+( 3 )2

=2，
∴△APD和△OAB相似分如下兩種情況：
①APD=∠OAB時(shí)△APD和△OAB相似，
∴

AP

OA

=

AD

OB

，
即

AP

2

=

2

6

，
解得AP=

2

3

，
∴OP=OA-AP=2-

2

3

=

4

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4

3

，0）；
②∠APD=∠OBA時(shí)△APD和△OBA相似，
∴

AP

OB

=

AD

OA

，
即

AP

6

=

2

2

，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0），
綜上所述，點(diǎn)P（

4

3

，0）或（-4，0）；

（4）點(diǎn)A（2，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（-2，0），
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線，直線A′D與y軸的交點(diǎn)即為使△MAD的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)M的位置，
設(shè)直線A′D的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=0 k+b=- 3

，
解得

k=- 3 3 b=- 2 3 3

，
∴直線A′D的解析式為y=-

3

3

x-

2 3

3

，
x=0時(shí)，y=-

2 3

3

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-

2 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的性質(zhì)，以及利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，（3）分情況討論是難點(diǎn)．