Question

如圖，Rt△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，

3

），B（-

1

2

，

3

2

），C（1，0），∠ABC=90°，BC與y軸的交點(diǎn)為D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

3

），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)y軸為對(duì)稱軸的拋物線過點(diǎn)B．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）將△ABC沿AC折疊后得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'，求證：四邊形AOCB'是矩形，并判斷點(diǎn)B'是否在（1）的拋物線上．
（3）延長(zhǎng)BA交拋物線于點(diǎn)E，在線段BE上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式，因點(diǎn)B在拋物線上面，代入求出拋物線解析式；
（2）△ABC沿AC折疊，要用到點(diǎn)的對(duì)稱，得到B′的坐標(biāo)然后驗(yàn)證是否在拋物線上；
（3）假設(shè)存在，設(shè)直線BA的解析式，根據(jù)B、A坐標(biāo)解出直線BA的解析式，用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻F=AD可以得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+

3

3

，（1分）
∵B（-

1

2

，

3

2

）在拋物線上，
∴把B（-

1

2

，

3

2

）代入y=ax²+

3

3

得a=

2

3

3

．（3分）
∴拋物線解析式為y=

2

3

3

x²+

3

3

．（5分）

（2）∵點(diǎn)B（-

1

2

，

3

2

），A（0，

3

），
∴CB=

( 1 2 +1)2+( 3 2 )2

=

3

，
∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA=

12+( 3 )2

=2
∴AB=

AC2-BC2

=1
∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四邊形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=

3

，OC=1，
∴B'點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

）．（9分）
∵當(dāng)x=1時(shí)，代入y=

2

3

3

x²+

3

3

得y=

3

，
∴B'（1，

3

）在拋物線上．（10分）

（3）存在．（11分）
理由是：設(shè)BA的解析式為y=kx+b，
∴

- 1 2 k+b= 3 2 0+b= 3

∴

k= 3 b= 3

∵P，F(xiàn)分別在直線BA和拋物線上，且PF∥AD，
∴設(shè)P（m，

3

m+

3

），F(xiàn)（m，

2

3

3

m²+

3

3

）
PF=（

3

m+

3

）-（

2

3

3

m²+

3

3

），AD=

3

-

3

3

=

2

3

3

如果PF=AD，則有
=（

3

m+

3

）-（

2

3

3

m²+

3

3

）=

2

3

3

解得m₁=0（不符合題意舍去），m₂=

3

2

．
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，PF=AD，
存在四邊形ADFP是平行四邊形．（13分）
當(dāng)m=

3

2

時(shí)，

3

m+

3

=

5 3

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

3

2

，

5 3

2

）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：考查待定系數(shù)求拋物線解析式，折疊圖形的對(duì)稱問題，輔助線的作法也很獨(dú)特，考查的知識(shí)點(diǎn)很全面，是一道綜合性題型．