Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和為4，并且兩條對(duì)角線所夾銳角為60°，則該等腰梯形的面積為

 

．（結(jié)果保留根號(hào)的形式）

Answer 1

分析：根據(jù)題意作圖，題中指出兩條對(duì)角線所夾銳角為60°而沒(méi)有指明是哪個(gè)角，所以做題時(shí)要分兩種情況進(jìn)行分析，從而得到最后答案．

解答：解：已知梯形的上下底的和是4，設(shè)AB+CD=4，
對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作對(duì)角線BD的平行線CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)∠DOC=60度時(shí)，∠ACE=60°，△ACE是等邊三角形，邊長(zhǎng)AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

；
因而面積是

1

2

×4×2

3

=4

3

；
（2）當(dāng)∠BOC=60度時(shí)，∠AOB=180°-60°=120°，又BD∥CE，∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底邊AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，則AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
則△ACE的面積是

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

．
而△ACE的面積等于梯形ABCD的面積．
因而等腰梯形的面積為4

3

或

4

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查等腰梯形的性質(zhì)及梯形中常見(jiàn)的輔助線的作法，通過(guò)這條輔助線可以把兩對(duì)角線的夾角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的角的問(wèn)題．