Question

在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，則結(jié)論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BE=

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DE中，一定正確的有

①②③⑤

．

Answer 1

分析：①EF、FD是直角三角形斜邊上的中線，都等于BC的一半；②可證△ABD∽△ACE；③證明∠EFD=60°；④假設(shè)結(jié)論成立，在BC上取滿足條件的點(diǎn)H，證明其存在性；⑤當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，EF不一定是BC邊的高．

解答：解：①∵BD、CE為高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF=DF=

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BC．故正確；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正確；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等邊三角形．故正確；
④若BE+CD=BC，則可在BC上截取BH=BE，則HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在滿足條件的點(diǎn)，假設(shè)成立，但一般情況不一定成立，故錯(cuò)誤；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE=

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BC=

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DE．
正確的①②③⑤．
故答案為①②③⑤．

點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義．