Question

【題目】如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y=（x﹣1）2+m也經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B，將該拋物線沿直線l平移使頂點(diǎn)B落在直線l的點(diǎn)D處，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n（n＞1）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）平移后的拋物線可以表示為　　（用含n的式子表示）；

（3）若平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a．

①請寫出a與n的函數(shù)關(guān)系式．

②如圖2，連接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）B（1，1）；（2）y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）a=；a=+1.

【解析】

1) 首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo), 再求得點(diǎn)B的坐標(biāo), 用h表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)后代入直線的解析式即可驗(yàn)證答案。

(2) ①根據(jù)兩種不同的表示形式得到m和h之間的函數(shù)關(guān)系即可。

②點(diǎn)C作y軸的垂線, 垂足為E, 過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F, 證得△ACE~△CDF, 然后用m表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo), 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得m的值即可。

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)候，y=﹣x+2=2，

∴A（0，2），

把A（0，2）代入y=（x﹣1）2+m，得1+m=2

∴m=1．

∴y=（x﹣1）2+1，

∴B（1，1）

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=（x﹣1）2+1，

∵∵D（n，2﹣n），

∴則平移后拋物線的解析式為：y=（x﹣n）2+2﹣n．

故答案是：y=（x﹣n）2+2﹣n．

（3）①∵C是兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可以表示為：

（a﹣1）2+1或（a﹣n）2﹣n+2

由題意得（a﹣1）2+1=（a﹣n）2﹣n+2，

整理得2an﹣2a=n2﹣n

∵n＞1

∴a==．

②過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠CDF

又∵∠AEC=∠DFC

∴△ACE∽△CDF

∴=．

又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），

∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a

∴=

∴a2﹣2a=1

解得：a=±+1

∵n＞1

∴a=＞

∴a=+1