Question

【題目】 如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線(xiàn)AC于F.

（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，試探究線(xiàn)段BD、AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)或反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】 試題分析：（1）通過(guò)三角形全等的判定ASA證明△FAB≌△DAC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，分為：點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上；點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，兩種情況進(jìn)行討論即可.

試題解析：(1)如圖1，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

在△FAB和△DAC中，

AB=AC

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的結(jié)論不成立．

點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AB=AF-BD；點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AB=BD-AF．

理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2．

同理可得：FA=DA．

則AB=AD-BD=AF-BD．

②點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3．

同理可得：FA=DA．

則AB=BD-AD=BD-AF．