Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上異于B和C的任意一點，過點P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，過點C作CF⊥AB于F，求證：PD+PE=CF．

（1）有下面兩種證明思路：（一）如圖②，連接AP，由△ABP于△ACP面積之和等于△ABC的面積證得PD+PE=CF．（二）如圖②，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證明：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．

請你選擇其中的一種證明思路完成證明：

（2）探究：如圖③，當點P在BC的延長線上時，其它條件不變，探究并證明PD、PE和CF間的數(shù)量關系；

（3）猜想：當點P在CB的延長線上時，其它條件不變，猜想PD、PE和CF間的數(shù)量關系（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）PD+PE=CF（2）PD﹣PE=CF（3）PE﹣PD=CF

【解析】

（1）連接AP，根據(jù)S△ABP+S△ACP=S△ABC列式整理即可得解；

（2）連接AP，根據(jù)S△ABP﹣S△ACP=S△ABC列式整理即可得解；

（3）連接AP，根據(jù)S△ACP﹣S△ABP=S△ABC列式整理即可得解.

（1）如圖②，連接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=ABPD，S△ACP=ACPE，S△ABC=ABCF，

∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴ABPD+ACPE=ABCF，

又AB=AC，

∴PD+PE=CF；

（2）PD﹣PE=CF

如圖③，連接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=ABPD，S△ACP=ACPE，S△ABC=ABCF，

∵S△ABP﹣S△ACP=S△ABC，

∴ABPD﹣ACPE=ABCF，

又∵AB=AC，

∴PD﹣PE=CF；

（3）PD﹣PE=CF，

如圖4，連接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=ABPD，S△ACP=ACPE，S△ABC=ABCF，

∵S△ACP﹣S△ABP=S△ABC，

∴ACPE﹣ABPD=ABCF，

又∵AB=AC，

∴PE﹣PD=CF；