Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AC＝nAB，∠CAB＝α，點(diǎn)E，F分別在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置．連接CF，BE．

（1）求證：∠ACF＝∠ABE；

（2）若點(diǎn)M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，當(dāng)α＝90°時(shí)，求證：BE2+CF2＝4MN2；

（3）如圖3，點(diǎn)M，N分別在EF，BC上且＝＝，若n＝，α＝135°，BE＝，直接寫出MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）證明△CAF∽△BAE即可解決問題；

（2）延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于H，連接BF，取BF的中點(diǎn)J，連接NJ，JM，設(shè)AC交BH于點(diǎn)O．首先證明CF⊥BE，利用三角形的中位線定理證明△NJM是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．

（3）如圖3中，延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于H，連接BF，在FB上取一點(diǎn)J，使得FJ：JB＝1：2，連接NJ，JM．證明∠MJN＝45°，NJ＝，MJ＝，如圖4中，在△NJM中，作MK⊥NJ于K，解直角三角形求出MN即可．

（1）證明：

在如圖1中，

∵EF∥BC，

∴，

∴，

如圖2中，

∵∠CAB＝∠EAF，

∴∠CAF＝∠BAE，

∵，

∴△CAF∽△BAE，

∴∠ACF＝∠ABE．

（2）證明：在圖2中，延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于H，連接BF，取BF的中點(diǎn)J，連接NJ，JM，設(shè)AC交BH于點(diǎn)O．

∵∠OCH＝∠OBA，∠COH＝∠BOA，

∴∠H＝∠OAB＝90°，

∴CF⊥BE，

∵CN＝BN，FJ＝JB，

∴JN∥CF，JN＝CF，

∵FM＝ME，FJ＝JB，

∴MJ∥BE，MJ＝BE，

∵CF⊥BE，

∴NJ⊥JM，

∴∠NJM＝90°，

∴JN2+JM2＝MN2，

∴（CF）2+（BE）2＝MN2，

∴BE2+CF2＝4MN2．

（3）解：在圖3中，延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于H，連接BF，在FB上取一點(diǎn)J，使得FJ：JB＝1：2，連接NJ，JM．

同法可證∠H＝∠CAB＝135°，

∵CN：BN＝FJ：JB＝1：2，

∴NJ∥CF，NJ＝CF，

∵FM：ME＝FJ：JB＝1：2，

∴MJ∥BE，MJ＝BE，

∴△MJN中∠MJN的外角為135°，

∴∠MJN＝45°，

由題意BE＝，CF＝2，

∴NJ＝，MJ＝，

如圖4中，在△NJM中，作MK⊥NJ于K．

∵∠J＝∠JMK＝45°，MJ＝，

∴MK＝KJ＝，

∴NK＝NJ﹣KJ＝1，

∴MN＝=＝．