Question

14．如圖，已知△ABC和△ABD均為等腰直角三角形．∠ACB=∠BAD=90°，點E為邊AC上任意一點（點E不與A、C兩點重合），作EF⊥EB交AD于點F，交AB于點O．
（1）求證：∠AFO=∠EBO．
（2）判斷△EBF的形狀，并證明你的判斷．（提示：可作EM⊥AE交AB于M）
（3）若E為AC延長線上任意一點（如圖②），EF交DA的延長線于點F，其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可得出結(jié)論；
（2）過E作EM⊥AE交AB于M，先判定△AFE≌△MBE（AAS），得出EF=EB，∠FEA=∠BEM，進而得到∠BEF=∠MEA=90°，即可得出△BEF為等腰直角三角形；
（3）過E作EM⊥AE交AB延長線于點M，先判定△EBM≌△EFA（AAS），得出EB=EF，∠FEA=∠BEM，即可得到∠BEF=∠MEA=90°，進而得出△BEF為等腰直角三角形．

解答 解：（1）證明：∵EF⊥EB，
∴∠FEB=90°=∠BAF，
∵∠AFE=90°-∠AOF，∠ABE=90°-∠BOE，
而∠EOB=∠AOF，
∴∠AFE=∠ABE； 

（2）△EBF為等腰直角三角形，
證明：如圖1，過E作EM⊥AE交AB于M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠EAM=∠AME=45°，
∴EA=EM，
∵∠FAE=45°+90°=135°，∠EMB=180°-45°=135°，
∴∠FAE=∠EMB，
在△AEP和△MBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EMB}\\{∠AFE=∠EBM}\\{AE=ME}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△MBE（AAS），
∴EF=EB，∠FEA=∠BEM，
∴∠BEF=∠MEA=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形；

（3）△BEF為等腰直角三角形仍成立．
證明：如圖2，過E作EM⊥AE交AB延長線于點M，
易得∠EMB=∠EAB=45°=∠EAF，
∴EM=EA，
∵∠FEB+∠FAB=90°+90°=180°，
∴∠EFA+∠ABE=180°，
又∵∠EBM+∠EBA=180°，
∴∠EBM=∠EFA，
在△EBM和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMB=∠EAF}\\{∠EBM=∠EFA}\\{ME=AE}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△EFA（AAS），
∴EB=EF，∠FEA=∠BEM，
∴∠BEF=∠MEA=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進行求解．