Question

如圖，將正△ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小三角形，若=，則△ABC的邊長(zhǎng)是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)等邊三角形的高為邊長(zhǎng)的倍，求出正△ABC的面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形表示出菱形的兩對(duì)角線，然后根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據(jù)所分成的小正三角形的個(gè)數(shù)的比等于面積的比列式計(jì)算即可得解．
解答：解：設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，則高為x，
S_△ABC=x•x=x²，
∵所分成的都是正三角形，
∴結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線為x-，較短的對(duì)角線為（x-）=x-1，
∴黑色菱形的面積=（x-）（x-1）=（x-2）²，
∴==，
整理得，11x²-144x+144=0，
解得x₁=（不符合題意，舍去），x₂=12，
所以，△ABC的邊長(zhǎng)是12．
故答案為：12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)角等于60°的菱形的兩條對(duì)角線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于根據(jù)三角形的面積與菱形的面積列出方程．