Question

如圖1，正△ABC和正△FDE，F(xiàn)與B重合，AB與FD在一條直線上．
（1）若將△FDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度（如圖2），試說明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=2

3

，把圖1中的△FDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°（如圖3），試判斷四邊形EBDC的形狀，并說明你的理由；
（3）若把圖1中的正△FDE沿BA方向平移（如圖4），連接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的邊長(zhǎng)分別是5cm和2

3

cm，問在平移過程中，△ABE是否會(huì)成為等腰三角形？若能，直接寫出FB的值；若不能，說明理由．       

Answer 1

分析：（1）利用“SAS”證明AE、CD所在的三角形△ABE≌△CBD即可；
（2）設(shè)DE，BC交于O點(diǎn)，△FDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，∠DBA=90°，又∠CBA=60°，則∠DBC=30°=∠EBC，由等邊三角形的性質(zhì)可知BC垂直平分DE，解直角三角形求BO，證明DE垂直平分BC即可；
（3）會(huì)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程中，△ABE為等腰三角形時(shí)，分AB=BE，BE=AE，AE=AB三種情況分別求解．

解答：證明：（1）如圖2，
∵AB=BC，∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-∠EBC=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD，
∴CD=AE；

解：（2）四邊形EBDC為菱形．
理由：如圖3，設(shè)DE，BC交于O點(diǎn)，
∵△FDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，∠DBA=90°，又∠CBA=60°，
∴∠DBC=30°=∠EBC，∴BC垂直平分DE，
在Rt△DBO中，BO=BD•cos30°=2

3

×

3

2

=3=

1

2

AB，
∴DE垂直平分BC，
對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形，
∴四邊形EBDC為菱形；

（3）△ABE會(huì)成為等腰三角形，此時(shí)FB=1+

3

或2.5+

3

或9+

3

或4+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)等邊三角形的特殊性，證明全等三角形，解直角三角形．