Question

矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的B′處，再沿B′G折疊四邊形，使B′D邊與B′F重合，且B′D′過點F．已知AB=4，AD=1
（1）試探索EF與B′G的位置關系，并說明理由；
（2）若四邊形EFGB′是菱形，求∠BFE的度數；
（3）若點D′與點F重合，求此時圖形重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）因為是矩形，
∴∠BFB′=∠FB′D，2個角都有平分線，
∴∠EFB′=∠FB′G，
∴EF∥B′G；

（2）∵是菱形，有對稱性，
∴∠EFB′=∠B′FG，
又∵∠EFB=∠EFB′，且這3個角加起來180度，
∴都是60度；

（3）由條件可得四邊形AEFB與四邊形CGB'D是一樣的，BF=FB′=B′D．
設長度都是x，有x²=（13-2x）²+4²，
解得x=5．
重疊部分的面積=（52-6×2）÷2=20．
分析：（1）矩形的性質，翻折的性質，平行線的判定即可得出EF與B′G的位置關系；
（2）根據菱形的性質和三角形內角和等于180°，可求∠BFE的度數；
（3）先根據勾股定理求出BF=FB′=B′D的長．再根據重合部分面積=（矩形面積-2個三角形的面積）÷2求解．
點評：本題主要考查了翻折變換（折疊問題），同時考查了矩形的性質，菱形的性質和三角形內角和，勾股定理的知識，綜合性較強，有一定的難度．