Question

【題目】如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過作，交于點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形，同時(shí)以為邊向下作正方形，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）點(diǎn)到直線的距離______________；（用含的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)點(diǎn)落在落在上時(shí)，求的值；

（3）設(shè)平行四邊形與正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．

（4）設(shè)，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t；（2）t=；（3）S= ．S最大=；（4）t的值為1≤t≤或2≤t＜3．

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解決問題．
（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在PF上時(shí)，根據(jù)BD=PBcos∠B，構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）分兩種情形分別求解：①如圖3中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是△PGQ，②如圖4中，當(dāng)＜t＜3時(shí)，重疊部分四邊形PQDG．
（4）分兩種情形：①如圖5中，作DH∥PE交AB于H，連接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此構(gòu)建不等式即可解決問題．②如圖6中，作DH∥PE交AB于H，連接EH．構(gòu)建不等式即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．

∵PQ∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴PQ=t，
∵四邊形PQEF是正方形，
∴∠QPF=∠F=90°，
∵AH⊥EF，
∴∠FHJ=90°，
∴四邊形PFHJ是矩形，
∴JH=PF=PQ=t，
在Rt△APJ中，AJ=PAsin∠APJ= =t，
∴AH=AJ+JH=t+ t．
（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在PF上時(shí)，則有BD=PBcos∠B，

∵四邊形PQDB是平行四邊形，
∴BD=PQ，
∴（5-t，
解得t=．
（3）①如圖3中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是△PGQ，S= t2．

②如圖4中，當(dāng)＜t＜3時(shí)，重疊部分四邊形PQDG，

S=S平行四邊形PQDB-S△PBG= =-3t2+11t-6．
綜上所述，S= ．
第一種情況，當(dāng)t=時(shí)，S最大=．第二種情況，當(dāng)t=時(shí)，S最大= ．
綜上，S最大=．
（4）①如圖5中，作DH∥PE交AB于H，連接EH．

∵DH∥PE，
∴S△PED=S△PEH，
∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，
由題意易知：PE∥AC∥DH，
∴BD：BC=BH：BA，
∴t：7=BH：5，
∴BH=t，
∴PH=5-t-t=5-t．
∴m=（5-t）： t，
∵≤m≤1時(shí)，
∴≤ ≤1，
解得：1≤t≤ ．
②如圖6中，作DH∥PE交AB于H，連接EH．

同法可得：∴ ≤1，
解得：2≤t≤3．
綜上所述，滿足條件的t的值為1≤t≤或2≤t≤3．