Question

【題目】解答題
（1）實驗與探究

①在下列三個圖中，給出菱形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），寫出圖（1），（2），（3）中點C的坐標，它們分別是、、；
②菱形繞原點逆時針依照（90°，2）旋轉(zhuǎn)后點C對應的點C1的坐標分別是、、 ． （其中（90°，2）表示旋轉(zhuǎn)90°，長度擴大2倍）
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)
①在圖4中，給出菱形ABCD的頂點A，B，D的坐標，求出頂點C的坐標；（點C的坐標用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）
②菱形繞原點逆時針依照（90°，2）旋轉(zhuǎn)后對應的C1的坐標為多少．
（3）運用與推廣
①通過對圖（1），（2），（3），（4）的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論菱形ABCD處于直角坐標系的哪個位置，當頂點坐標為：A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）時，四個頂點的橫坐標a，c，m，e之間的等量關(guān)系為；縱坐標b，d，n，f之間的等量關(guān)系為（不必證明）；
②通過頂點C的坐標和旋轉(zhuǎn)后的C1的坐標探究，你會發(fā)現(xiàn)無論C點在哪個位置，繞原點逆時針依照（90°，n）旋轉(zhuǎn)，設C（x1 ， y1），C1（x2 ， y2），則x1 ， x2 ， y1 ， y2滿足的等式是（不必證明）．
（備注：有兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則它們的中點P的坐標為（ ， ））

Answer 1

【答案】
（1）（8，4）；（e+c，d）；（c+e﹣a，d）；（﹣8，16）；（﹣2d，2e+2c）；（﹣2d，2c+2e﹣2a）
（2）

解：①如圖所示：分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，

分別過A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于點F．

在平行四邊形ABCD中，CD=BA，

又∵BB1//CC1，

∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．

∴∠EBA=∠FCD．

在△BEA和△CFD中

，

∴△BEA≌△CFD（AAS）．

∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．

設C（x，y）．

由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．

由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．

∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．

②菱形繞原點逆時針依照（90°，2）旋轉(zhuǎn)后對應的C1的坐標為（2b﹣2f﹣2d，2e+2c﹣2a）

（3）m=c+e﹣a；n=d+f﹣b；x2=﹣ny1 ， y2=nx1
【解析】解：（1.）①由題意可得出：圖1，圖2，圖3中的頂點C的坐標，它們分別是（8，4），（e+c，d），（c+e﹣a，d）．
所以答案是：（8，4），（e+c，d），（c+e﹣a，d）．
②菱形繞原點逆時針依照（90°，2）旋轉(zhuǎn)后點C對應的點C1的坐標分別是（﹣8，16），（﹣2d，2e+2c），（﹣2d，2c+2e﹣2a）
所以答案是（﹣8，16），（﹣2d，2e+2c），（﹣2d，2c+2e﹣2a）．
（3.）①由圖1，2，3可得出：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b．或m+a=c+e，n+b=d+f．
所以答案是：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b．
②由圖1，2，3可得出：無論C點在哪個位置，繞原點逆時針依照（90°，n）旋轉(zhuǎn)可得：x2=﹣ny1 ， y2=nx1 ，
所以答案是x2=﹣ny1 ， y2=nx1 ．
【考點精析】掌握菱形的性質(zhì)和圖形的旋轉(zhuǎn)是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素．