Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．動點(diǎn)P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使得∠MAC=2∠MCA，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo).若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）將A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx＋c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；

（2）先證明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO＝45°，再證明△PDE是等腰直角三角形，則PE越大，△PDE的周長越大，求出直線AB的解析式為y＝x＋3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，聯(lián)立，時，PD最大，求出m即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)E，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)D，則D(-1,0),連接MA，MD，MC，由∠MAC =2∠MCA可得MD=CD=2，勾股定理求出ME=，即可得M點(diǎn)坐標(biāo)

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

所以，拋物線的解析式為；

（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周長越大，

易得直線AB的解析式為y=x+3，

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯(lián)立，

消掉y得，，

當(dāng)，

即時，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，PD最長，

此時,

∴點(diǎn)，△PDE的周長最大；

(3)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)E，作點(diǎn)A關(guān)于直線

的對稱點(diǎn)D，則D(-1,0),連接MA，MD，MC.

∴MA=MD,∠MAC=∠MDA=2∠MCA

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2

∴ME=

∴