Question

如圖，已知點M（6

3

，0），N（0，6），經(jīng)過M、N兩點的直線 l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，分別交x軸、y軸于A、B兩點，與此同時，點P從點N出發(fā)，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線l向右下方作勻速運動，設(shè)它們運動的時間為t秒．
（1）∠OMN=

 

（直接寫出結(jié)果）；
（2）用含t的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)；
（3）過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時圓P與直線CD的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由已知點M（6

3

，0），N（0，6），經(jīng)過M、N兩點的直線，利用直角三角形可求出∠OMN；
（2）過點P向y軸引垂線．根據(jù)已知點A、B的坐標(biāo)可以求得∠BAO=30°，從而可以結(jié)合題意，利用解直角三角形的知識進(jìn)行求解；
（3）此題應(yīng)分作兩種情況考慮：
①當(dāng)P位于OC左側(cè)，⊙P與OC第一次相切時，易證得∠COB=∠BAO=30°，設(shè)直線l與OC的交點為G，根據(jù)∠BOC的度數(shù)，即可求得BG、PG的表達(dá)式，而此時⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關(guān)于t的方程，求得t的值，進(jìn)而可判斷出⊙P與CD的位置關(guān)系；

解答：解：（1）由已知點M（6

3

，0），N（0，6），經(jīng)過M、N兩點的直線可得：
∠OMN=30°，
故答案為：30°．

（2）作PF⊥y軸于F．
∵M(jìn)（6

3

，0），N（0，6），
∴∠NMO=30°，
∴∠BAO=30°．
在直角三角形PFB中，PB=t，∠BPF=30°，
則BF=

t

2

，PF=

3

2

t．
又∵NB=t，
∴OF=ON-NB-BF=6-t-

t

2

=6-

3

2

t，
則P點的坐標(biāo)為（

3

2

t，6-

3

2

t）．

（3）此題應(yīng)分為兩種情況：
①當(dāng)⊙P和OC第一次相切時，
設(shè)直線BP與OC的交點是G．
根據(jù)題意，知∠BOC=∠BAO=30°．
則BC=

1

2

OB=3-

t

2

，
則PG=3-

3

2

t．
根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得
3-

3

2

t=1，t=

4

3

．
此時⊙P與直線CD顯然相離；
②當(dāng)⊙P和OC第二次相切時，
則有

3

2

t-3=1，t=

8

3

．
此時⊙P與直線CD顯然相交．
答：當(dāng)t=

4

3

或

8

3

時⊙P和OC相切，t＜

4

3

時⊙P和直線CD相離，當(dāng)

4

3

＜t＜

8

3

時⊙P和直線CD相交．

點評：此題考查的知識點是一次函數(shù)綜合題，綜合考查了解直角三角形、直線和圓的位置關(guān)系等知識的綜合應(yīng)用能力，難度較大．