Question

如圖，已知A、B、C分別是圓O上的點(diǎn)，OC平分劣弧

AB

且交弦AB于點(diǎn)H，AB=6

3

，CH=3．
（1）求劣弧

AB

的長；（結(jié)果保留π）
（2）將線段AB繞圓心O順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段A′B′，線段A′B′與線段AB交于點(diǎn)D，在圖中畫出線段A′B′，并求線段AD的長．

Answer 1

分析：（1）求弧長，需知道圓心角的度數(shù)，半徑長．那么根據(jù)OC平分劣弧，可得到OH⊥AB，連接圓心和弦的端點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得半徑和圓心角即可．
（2）旋轉(zhuǎn)中心為O，旋轉(zhuǎn)方向，順時針，旋轉(zhuǎn)角度90，分別得到A，B的對應(yīng)點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)可得HD和OH的值相等，那么AD=AH+HD．

解答：解：∵OC平分AB，
∴OH⊥AB，AH=

1

2

AB=3

3

．（1分）
連接OA、OB，
設(shè)OA=r，則OH=r-3，
由勾股定理得(r-3)2+(3

3

)2=r2，
解得r=6．（2分）
∵OH⊥AB，OH=3，OA=6，
∴∠OAB=30度．
∵OA=OB，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB=120度．（1分）
∴AB=

n

180

πr=4π．（1分）

（2）作圖如下圖（2分）

取A'B'中點(diǎn)H'，連接OH'，則OH'⊥A'B'，H'是點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，
∴∠HOH'=90°，OH=OH'．
又OH⊥AB，
∴四邊形HOH'D正方形．（2分）
∴HD=OH=3．
∴AD=AH+HD=3+3

3

．（1分）

點(diǎn)評：求半徑和圓心角通常是構(gòu)造直角三角形利用特殊的三角函數(shù)來求解；做弦心距也是常用的輔助線方法．