Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax﹣a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．

已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2 與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為 ， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x+ ；（﹣2，2 ）；（1，0）
（2）

解：如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，

在y=﹣ x2﹣ x+2 中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），

∴AC= = ，

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC= ，

∵△AMN為夢(mèng)想三角形，

∴N點(diǎn)在y軸上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，

∵OD=2 ，

∴ON=2 ﹣3或ON=2 +3，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2 ﹣3）或（0，2 +3）

（3）

解：①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，

則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH=CK=1，HE=AK=2 ，

∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1，

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或﹣2，

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0， ），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，

∴E到y(tǒng)軸的距離為EH﹣OF=2 ﹣ = ，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣ ，

∴E（﹣1，﹣ ）；

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），

∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2.5， ），

設(shè)E（﹣1，t），F(xiàn)（x，y），

則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2 ，

∴x=﹣4，y=2 ﹣t，

代入直線AB解析式可得2 ﹣t=﹣ ×（﹣4）+ ，解得t=﹣ ，

∴E（﹣1，﹣ ），F(xiàn)（﹣4， ）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣ ）、F（﹣4， ）．

【解析】解：（1）∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+2 ，
∴其夢(mèng)想直線的解析式為y=﹣ x+ ，
聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得 ，解得 或 ，
∴A（﹣2，2 ），B（1，0），
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和翻折變換（折疊問(wèn)題）是解答本題的根本，需要知道若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．