Question

如圖，矩形ABCD沿直線MN折疊，使點D落在點B處，點E、F分別是邊AD、BC與MN的交點，Q是MM與對角線BD的交點，P是對角線BD上任意一點，PH⊥BE于H，PG⊥AD于G。
（1）不添加輔助線，找出圖中的全等三角形。（至少找出兩組，不要求證明）
（2）請你猜想PH、PG、AB它們之間有什么關系？并證明你的結論。

Answer 1

解：（1）△ABD≌△CDB、 △BEQ≌△DEQ、 △BEQ≌△BFQ、 △DEQ≌△BFQ；
       （2）PH+PG=AB
               解法1：連接PE 
             
           由（1）可知，△BEQ≌△DEQ，∴BE=DE
            ∵S_△BDE= S_△BEP+S_{△DEP
              又∵AB⊥DE，PH⊥BE，PG⊥DE 
            ∴
           即}
           ∴PH+PG=AB
        解法2：延長GP交BC于點I，則GI=AB，
         
              ∵四邊形ABCD是矩形，PG⊥AD
             ∴AD∥BC 
             ∴∠PBI=∠PDG，∠DGP=∠PIB=90°
           由（1）知：△BEQ≌△DEQ 
          ∴∠EBP=∠PDE，
          ∴∠HBP=∠PBI
          ∵PH⊥BE
          ∴∠PHB=∠PIB=90°
          ∵PB=PB 
         ∴△PHB≌△PIB（AAS）
         ∴PI=PH 
         ∴GI=GP+PI=GP+PH=AB