Question

（2013•臺(tái)州）如圖1，已知直線l：y=-x+2與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y=（x-1）²+k經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B，另一拋物線y=（x-h）²+2-h（h＞1）的頂點(diǎn)為D，兩拋物線相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說明點(diǎn)D在直線l上的理由；
（2）設(shè)交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m．
 ①交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可以表示為：

（m-1）²+1

或

（m-h）²-h+2

，由此進(jìn)一步探究m關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；
 ②如圖2，若∠ACD=90°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，用h表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)后代入直線的解析式驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)兩種不同的表示形式得到m和h之間的函數(shù)關(guān)系即可；過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，證得△ACE∽△CDF，然后用m表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得m的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入y=（x-1）²+k，得1+k=2
∴k=1，
∴y=（x-1）²+1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴當(dāng)x=h時(shí)，y=-x+2=-h+2=2-h
∴點(diǎn)D在直線l上；

（2）①（m-1）²+1或（m-h）²-h+2
由題意得（m-1）²+1=（m-h）²-h+2，
整理得2mh-2m=h²-h
∵h(yuǎn)＞1
∴m=

h2-h

2h-2

=

h

2

．
②過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴

AE

EC

=

CF

DF

又∵C（m，m²-2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m²-2m，DF=m²，CE=CF=m
∴

m2-2m

m

=

m

m2

∴m²-2m=1
解得：m=±

2

+1
∵h(yuǎn)＞1
∴m=

h

2

＞

1

2

∴m=

2

+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是本題中涉及到的用點(diǎn)的坐標(biāo)表示有關(guān)線段的長更是解決本題的關(guān)鍵，在中考中出現(xiàn)的頻率很高．