Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（1，2），∠ABC＝90°，連接AC．

（1）求直線AC的函數表達式；

（2）點P是線段OC上一動點，從點O向點C運動，過點P作PM∥y軸，分別交AB或BC，AC于點M，N，其中點P的橫坐標為m，MN的長為n．

①當0＜m≤1時，求n與m之間的函數關系式；

②當△AMN的面積最大時，請直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①n＝m；②m＝時，△AMN的面積最大為

【解析】

（1）先求出點C坐標，再利用待定系數法可求解析式；

（2）①先求出直線AB，BC的解析式，分別表示M，N兩點坐標，即可求解；

②分點M在AB上，點M在BC上兩種情況討論，利用一次函數的性質和二次函數的性質分別求出面積最大值，即可求解．

解：（1）如圖，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥OC于點F，連接OB，

∵點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（1，2），

∴OA＝1，BE＝OF＝1，BF＝OE＝2，

∴AE＝BE＝1，

∴∠EAB＝45°，

∴∠BAO＝135°，

∵∠OAB+∠AOC+∠ABC+∠BCO＝360°，

∴∠BCO＝45°，

∴∠BCO＝∠CBF＝45°，

∴BF＝CF＝2，

∴OC＝3，

∴點C（3，0），

設直線AC解析式為：y＝kx+1，

∴0＝3k+1，

∴k＝﹣，

∴直線AC解析式為：y＝﹣x+1；

（2）①如圖，∵A的坐標為（0，1），點B的坐標為（1，2），點C坐標（3，0）

易得直線AB解析式為：y＝x+1，直線BC解析式為：y＝﹣x+3，

當0＜m≤1時，即點M在AB上，

∵點P的橫坐標為m，

∴點M（m，m+1），點N（m，﹣m+1），

∴MN＝n＝（m+1）﹣（﹣m+1）＝m；

②當0＜m≤1時，MN＝n＝m，

∴S△AMN＝×m×m＝m2，

∴當m＝1時，△AMN的面積最大為，

當1＜m≤3時，同①可得：M'N'＝n＝﹣m+3﹣（﹣m+1）＝﹣m+2，

∴S△AMN＝×m×（﹣m+2）＝﹣（m﹣）2+，

∴當m＝時，△AMN的面積最大為，

綜上所述：當m＝時，△AMN的面積最大為．