Question

如圖，將一張邊長為4的正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形，得到4個(gè)小正三角形，然后將其中的一個(gè)三角形再剪成四個(gè)全等的小正三角形，得到7個(gè)小正三角形．根據(jù)以上操作，若得到2014個(gè)小正三角形時(shí)，則最小正三角形的面積等于（　�。�

• A、

  3

  4670

• B、

  1

  4671

• C、（

  1

  4

  ）⁶⁷¹-

  3

• D、

  2 3

  4670

Answer 1

分析：根據(jù)已知第一次操作后得到4個(gè)小正三角形，第二次操作后得到7個(gè)小正三角形；第三次操作后得到10個(gè)小正三角形；…繼而即可求出剪m次時(shí)正三角形的個(gè)數(shù)為2014，即可得出其面積．

解答：解：∵第一次操作后得到4個(gè)小正三角形，第二次操作后得到7個(gè)小正三角形；第三次操作后得到10個(gè)小正三角形，
∴第m次操作后，總的正三角形的個(gè)數(shù)為3m+1．則：2014=3m+1，
解得：m=671，
故若要得到2014個(gè)小正三角形，則需要操作的次數(shù)為671次，
∵第一次操作后小正三角形面積為：

1

2

×2×2sin60°=

3

，
第二次操作后小正三角形面積為：

1

2

×1×sin60°=

3

4

，
第三次操作后小正三角形面積為：

1

2

×

1

2

×

1

2

sin60°=

3

42

，
∴第671次操作后最小正三角形的面積為：

3

4670

．
故選：A．

點(diǎn)評：此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出第m次操作后，總的正三角形的個(gè)數(shù)為3m+1是解題關(guān)鍵．