Question

如圖，AM是⊙O的直徑，BC⊥AM，垂足為N，CD是弦，交AM和AB于點E、F．
①如果EN=NM，求證：CD⊥AB．
②如果弦CD交AB于點F，且CD=AB，求證：CE²=EF•ED．

Answer 1

分析：①連接BM，據(jù)題中條件首先證明△CEN≌△BMN，得到∠MBC=∠ECB；據(jù)圓周角性質可得∠A=∠MBC=∠ECB，再由對頂角相等∠NEC=∠AEF，可得到在△AEF和△CNE中∠ENC=∠AFE=90°，即CD⊥AB．
②連接BD、BE、AC，首先證明△ABE≌△ACE，得∠ABE=∠ACD；再證明△BED∽△FEB，可得

BE

ED

=

EF

BE

，即得到BE²=EF•ED，即CE²=EF•ED．

解答：證明：①連接BM，
∵AM是⊙O的直徑，∴∠ABM=90°
∵BC⊥AM，∴BN=CN，∠ENC=∠BNM，
又EN=NM，∴Rt△CEN≌Rt△BMN，
∴∠MBC=∠ECB；
又∵BC⊥AM，∴

BM

=

MC

，∴∠A=∠MBC
∴∠A=∠EBC，
又∠NEC=∠AEF，
在△AEF和△CNE中∠ENC=∠AFE=90°，
即CD⊥AB．

②連接BD、BE、AC，
∵點E是BC垂直平分線AM上一點，
∴BE=EC；
∵CD=AB，
∴

CD

=

AB

，∴

AD

=

BC

，∴∠ACD=∠BDC，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠ABE=∠ACD=∠BDC，∠BED是公共角，
∴△BED∽△FEB，
∴BE²=EF•ED，
∴CE²=EF•ED．

點評：此題綜合考查三角形全等的判定及性質、三角形相似的判定與性質、圓周角定理等知識，是一個綜合題，難度較大．