Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，動點(diǎn)P在梯形邊AB、BC上，當(dāng)梯形某兩個(gè)頂點(diǎn)和動點(diǎn)P能構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P到AD之距離記為d，則d為______．

Answer 1

①點(diǎn)P在AB上時(shí)，△APD是直角三角形，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PDC即△ADC是直角三角形，點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)．此時(shí)d=ap=0，
綜上所述，0≤d≤2．
②如圖1，點(diǎn)P在BC上時(shí)，△APD是直角三角形，
過點(diǎn)P作AD的平行線與AB的延長線相交于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，
則四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴

AE

PF

=

PE

DF

，
設(shè)PE=x，則PF=7-x，
∴

d

7-x

=

x

d

，
∴d²=-x²+7x，
∵AE∥CD，
∴

EB

CF

=

PE

PF

，
即

d-2

3-d

=

x

7-x

，
∴x=7d-14，
聯(lián)立

x=7d-14 d2=-x2+7x

，
消掉x得，50d²-245d+294=0，
解得d₁=

14

5

，d₂=

21

10

；
③如圖2，點(diǎn)P在BC上時(shí)，△CDP是直角三角形，
過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，過點(diǎn)P作PF⊥AD于F，
則CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC=

BE2+CE2

=

72+12

=5

2

，
sin∠C=

DP

CD

=

BE

BC

，
即

DP

3

=

7

5 2

，
解得DP=

21 2

10

，
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=

21 2

10

×

7

5 2

=

147

50

；
④點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
綜上所述，d為0＜d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3．
故答案為：0≤d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3．