Question

閱讀材料，大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題：1+2+3+…+100=？經(jīng)過研究，這個(gè)問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來研究一個(gè)類似的問題：1×2+2×3+…n（n+1）=？
觀察下面三個(gè)特殊的等式1×2=

1

3

(1×2×3-0×1×2)，2×3=

1

3

(2×3×4-1×2×3)，3×4=

1

3

(3×4×5-2×3×4)
讀完這段材料，請你思考后回答：
（1）5×6=

 

=

 

將前面兩個(gè)等式的兩邊相加，可以得到
1×2+2×3=

1

3

×2×3×4=8
將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到
1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
讀完這段材料，請你思考后回答：
（2）1×2+2×3+…+100×101=

 

=

 

（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=

 

=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可以得出，1×2+2×3+3×4+4×5等于

1

3

×4×5×6，即每一項(xiàng)增加1，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可得出規(guī)律是后三項(xiàng)加1的乘積；
（3）即可得出一般性規(guī)律，1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．

解答：解：（1）原式=

1

3

（5×6×7-4×5×6）=30，
（2）原式=

1

3

×100×101×102=343400；
（3）原式=

1

3

n（n+1）（n+2）=

1

3

n³+n²+

2n

3

．
故答案為

1

3

（5×6×7-4×5×6），30；

1

3

×100×101×102，343400； 

1

3

n（n+1）（n+2），

1

3

n³+n²+

2n

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律性問題，這是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律，但是如何用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是難點(diǎn)中的難點(diǎn)．