Question

閱讀材料：大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時曾經(jīng)研究過這樣一個問題：1+2+3+…+100=？經(jīng)過研究，這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=

1

2

n（n+1），其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…n（n+1）=？
觀察下面三個特殊的等式：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
將這三個等式的兩邊相加，可以得到：
1×2+2×3+3×4=

1

3

(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）
=

1

3

×3×4×5=20
讀完這段材料，請你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+7×8=

168

；
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

；
（3）若1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

×9×10×11，求n邊形的內(nèi)角和度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可以得出，1×2+2×3+…+7×8等于

1

3

×7×8×9，即每一項增加1，即可得出答案；
（2）根據(jù)前面的規(guī)律可得它們的和是n（n+1）（n+2）乘積的

1

3

；
（3）根據(jù)1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

×9×10×11，可得關(guān)于n的方程，再根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式即可求解．

解答：解：（1）1×2+2×3+…+7×8=

1

3

×7×8×9=168；

（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）∵1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

×9×10×11，
∴n=9，
∴n邊形的內(nèi)角和度數(shù)為：（9-2）×180°=1260°．
故答案為：168；

1

3

n（n+1）（n+2）．

點評：此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律性問題，這是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律，但是如何用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是難點中的難點．