Question

如圖，直線y=x+1與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過(guò)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，且tan∠AHO=．

（1）求k的值；

（2）設(shè)點(diǎn)N（1，a）是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM+PN最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【專題】計(jì)算題．

【分析】（1）對(duì)于直線y=x+1，令x=0求出y的值，確定出A坐標(biāo)，得到OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan∠AHO的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OH的長(zhǎng)，根據(jù)MH垂直于x軸，得到M橫坐標(biāo)與A橫坐標(biāo)相同，再由M在直線y=x+1上，確定出M坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）將N坐標(biāo)代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標(biāo)，過(guò)N作N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N₁，連接MN₁，交y軸于P（如圖），此時(shí)PM+PN最小，由N與N₁關(guān)于y軸的對(duì)稱，根據(jù)N坐標(biāo)求出N₁坐標(biāo)，設(shè)直線MN₁的解析式為y=kx+b，把M，N₁的坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線MN₁的解析式，令x=0求出y的值，即可確定出P坐標(biāo)．

【解答】解：（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，

∵tan∠AHO==，

∴OH=2，

∵M(jìn)H⊥x軸，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，

∵點(diǎn)M在直線y=x+1上，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，即M（2，3），

∵點(diǎn)M在y=上，

∴k=2×3=6；

（2）∵點(diǎn)N（1，a）在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴a=6，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，6），

過(guò)N作N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N₁，連接MN₁，交y軸于P（如圖），

此時(shí)PM+PN最小，

∵N與N₁關(guān)于y軸的對(duì)稱，N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），

∴N₁的坐標(biāo)為（﹣1，6），

設(shè)直線MN₁的解析式為y=kx+b，

把M，N₁的坐標(biāo)得，

解得：，

∴直線MN₁的解析式為y=﹣x+5，

令x=0，得y=5，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，對(duì)稱的性質(zhì)，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．