Question

13．若二次函數(shù)y=-x²的圖象平移后過點(diǎn)M（-1，0）和點(diǎn)N（0，3）．
（1）求出平移后二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，現(xiàn)將Rt△ABC的直角邊AC放置在x軸上，頂點(diǎn)B在平移后二次函數(shù)圖象上，寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由平移不改變二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)，可設(shè)新函數(shù)解析式為y=-x²+bx+c，把題中的兩個(gè)點(diǎn)代入即可；
（2）根據(jù)得到B的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式求得橫坐標(biāo)，得出C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)AC的長(zhǎng)，再利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出A點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)y=-x²+bx+c，把點(diǎn)M（-1，0）和點(diǎn)N（0，3）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
則平移后的函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3．
（2）由題意可知B的縱坐標(biāo)為±4，
把y=4代入y=-x²+2x+3得4=-x²+2x+3．
解得x=1，
∴B（1，4），
∴C的橫坐標(biāo)為1，
∵AC=8，
∴A（-7，0）或（9，0）；
把y=-4代入y=-x²+2x+3得-4=-x²+2x+3．
解得x=1$±2\sqrt{2}$，
∴C的橫坐標(biāo)為1+2$\sqrt{2}$或1-2$\sqrt{2}$，
∵AC=8，
∴A（-7+2$\sqrt{2}$，0）或（10+2$\sqrt{2}$，0）或（9-2$\sqrt{2}$）或（-7-2$\sqrt{2}$）；
綜上所述：符合題意的A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-7，0），（9，0），（-7+2$\sqrt{2}$，0），（10+2$\sqrt{2}$，0），（9-2$\sqrt{2}$），（-7-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的平移以及直角三角形等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．