Question

19、如圖，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：AD=CF；
（2）在原有條件不變的情況下，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件（不再增添輔助線(xiàn)），使四邊形AFCD成為菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠FCE．∠ADE=∠EFC，∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE．利用AAS證得△DEA≌△FEC．∴AD=CF；
（2）若四邊形AFCD成為菱形，則應(yīng)證四邊形AFCD是平行四邊形，因而加一組鄰邊相等即可，如：DA=DC．

解答：證明：（1）在△DEA和△FEC中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠EFC．
又∵E為AC的中點(diǎn)，
∴AE=CE．
∴△DEA≌△FEC．
∴AD=CF．

（2）添加DA=DC．
證明：∵AD∥BC，
又∵AD=CF，
∴四邊形AFCD為平行四邊形．
又∵DA=DC，
∴四邊形AFCD為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了：（1）、兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）、全等三角形的判定和性質(zhì)；（3）平行四邊形和菱形的判定．