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        1. 【題目】等腰ABC的直角邊AB=BC=10cm,點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā),均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動,已知P沿射線AB運(yùn)動,Q沿邊BC的延長線運(yùn)動,PQ與直線AC相交于點(diǎn)D.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時間為t,PCQ的面積為S.

          (1)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;

          (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動幾秒時,SPCQ=SABC?

          (3)作PEAC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時,線段DE的長度是否改變?證明你的結(jié)論.

          【答案】(1);(2)點(diǎn)P運(yùn)動秒時,SPCQ=SABC;(3)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時,線段DE的長度不會改變.

          【解析】

          試題分析:由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動,Q沿BC向上運(yùn)動,且速度都為1cm/s,S=QC×PB,所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系,另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡,它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動,達(dá)到一定時間后會運(yùn)動到右側(cè),所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況,這時我們應(yīng)分條回答.

          解:(1)當(dāng)t<10秒時,P在線段AB上,此時CQ=t,PB=10﹣t

          當(dāng)t>10秒時,P在線段AB得延長線上,此時CQ=t,PB=t﹣10

          (4分)

          (2)SABC=(5分)

          當(dāng)t<10秒時,SPCQ=

          整理得t2﹣10t+100=0無解(6分)

          當(dāng)t>10秒時,SPCQ=

          整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5(舍去負(fù)值)(7分)

          當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動秒時,SPCQ=SABC(8分)

          (3)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時,線段DE的長度不會改變.

          證明:過Q作QMAC,交直線AC于點(diǎn)M

          易證APE≌△QCM,

          AE=PE=CM=QM=t,

          四邊形PEQM是平行四邊形,且DE是對角線EM的一半.

          EM=AC=10DE=5

          當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時,線段DE的長度不會改變.

          同理,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時,DE=5

          綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時,線段DE的長度不會改變.

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