Question

如圖，點(diǎn)A在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A作與x軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)B，延長(zhǎng)AO，BO分別與拋物線相交于點(diǎn)C，D，連接AD，BC，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，且m＞0。

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直；
（3）猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1））∵點(diǎn)A在拋物線上，且
∴
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱
∴
設(shè)直線BD的解析式為y=kx
∴
∴
解方程組，得。
（2）當(dāng)四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相垂直時(shí)，由對(duì)稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點(diǎn)A的縱、橫坐標(biāo)相等，
這時(shí)，設(shè)A（a，a），代入，得a=4，∴A（4，4），
∴m=4
即當(dāng)m=4時(shí)，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直。
（3）線段CD=2AB
∵點(diǎn)A在拋物線，且
∴
得直線AO的解析式為
解方程組，得
由對(duì)稱性得點(diǎn)
∴
∴。