Question

如圖，已知正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P
（1）求證：OE=OF；
（2）寫(xiě)出線段EF、PC、BC之間的一個(gè)等量關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）若要證明OE=OF，則只要證明OE所在△BOF全等于OF所在△COE即可；
（2）線段EF、PC、BC之間的一個(gè)等量關(guān)系式是：EF+

2

CP=BC，找到跟三條線段有關(guān)系的線段OE、OP、OC，利用（1）中的三角形全等條件和等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理證明即可．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=∠DOC=90°，
∴∠BOF+∠FOP=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOE=90°，
∴∠EOC+∠FOP=90°
∴∠BOF=∠EOC，
又∵OB=OC，∠OBF=∠DCE=45°，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF；

（2）EF+

2

CP=BC，
證明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP，
∵BC=

2

OC=

2

（OP+PC），
∴EF+

2

CP=BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，利用正方形的特殊性質(zhì)求解．結(jié)合了三角形全等的問(wèn)題，并且涉及到探究性的問(wèn)題，屬于綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題．要求解此類(lèi)問(wèn)題就要對(duì)基本的知識(shí)點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識(shí)，熟練掌握．