Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=2

3

，P是AC上的一個動點．
（1）當(dāng)點P運動到∠ABC的平分線上時，連接DP，求DP的長；
（2）當(dāng)點P在運動過程中出現(xiàn)PD=BC時，求此時∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時?DPBQ的面積．

Answer 1

在Rt△ABC中，AB=2

3

，∠BAC=30°，
∴BC=

3

，AC=3．
（1）如圖（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=

3

2

．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=

1

2

，
∴DP=

PF2+DF2

=

10

2

．

（2）當(dāng)P點位置如圖（2）所示時，
根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=

3

2

，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=

3

，
∴cos∠PDF=

DF

PD

=

3

2

，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
當(dāng)P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度數(shù)為15°或75°；

（3）當(dāng)點P運動到邊AC中點（如圖4），即CP=

3

2

時，
以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上．
∵四邊形DPBQ為平行四邊形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2

3

，BC=

3

，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=3，
∵△DAC為等腰直角三角形，
∴DP=CP=

1

2

AC=

3

2

，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四邊形DPBQ的高，
∴S_{平行四邊形DPBQ}=DP•CP=

9

4

．