Question

如圖，直線y=2x-6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交與點(diǎn)B，M是線段AB上一點(diǎn)，BM=2AM，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)M，
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)解析式；
（3）已知點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則△ABM′的面積為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別把x=0和y=0代入y=-2x-6可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6）；
（2）過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，利用△BMN∽△BAO得到=，由于BM=2AM，OA=3可解得MN=2，然后利用M點(diǎn)在y=-2x-6可確定M點(diǎn)坐標(biāo)；再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)得到點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），再利用待定系數(shù)法確定直線BM′的解析式為y=4x-6，再確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），然后利用S△ABM′=S_△BAC+S_△M′AC
進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（1）當(dāng)x=0，y=-2x-6=-6；當(dāng)y=0，-2x-6=0，解得x=-3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6）；

（2）過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，如圖
∴△BMN∽△BAO，
∴=，
∵BM=2AM，
∴AB=BM，
而OA=3，
∴=，解得MN=2，
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
把x=-2代入y=-2x-6得y=4-6=-2，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-2），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，
把M（-2，-2）代入y=得k=-2×（-2）=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；

（3）直線BM′交x軸于C點(diǎn)，如圖，
∵點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），
設(shè)直線BM′的解析式為y=ax+b，
把B（0，-6）和M′（2，2）代入得，
解得，
∴直線BM′的解析式為y=4x-6，
把y=0代入得4x-6=0，解得x=，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
∴S△ABM′=S_△BAC+S_△M′AC
=×（3+）×6+×（3+）×2
=18．
故答案為18．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了三角形面積公式以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．