Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），a，b滿足$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{3a+5b=-2}\end{array}\right.$
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2時(shí)，求此時(shí)t的值；
（3）設(shè)∠BAO的鄰補(bǔ)角和∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，在點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{3a+5b=-2}\end{array}\right.$，求得a和b的值，即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）需要分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)M在AO上時(shí)，點(diǎn)M在AO延長線上時(shí)，分別根據(jù)△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2，列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可；
（3）根據(jù)∠BAO的鄰補(bǔ)角和∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，利用三角形外角性質(zhì)，即可求得∠P與∠AOB之間的數(shù)量關(guān)系式．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{3a+5b=-2}\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴A（-4，0），B（0，2）；

（2）∵A（-4，0），B（0，2），
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
∵AM=1t=t，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AO上時(shí)，OM=4-t；
∴△MOB的面積=$\frac{1}{2}$×2×（4-t）=4-t，
∵△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2，
∴$\frac{4}{4-t}$=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{12}{5}$，
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在AO延長線上時(shí)，OM=t-4，
∴△MOB的面積=$\frac{1}{2}$×2×（t-4）=t-4，
∵△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2，
∴$\frac{4}{t-4}$=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{28}{5}$，
綜上所述，當(dāng)△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2時(shí)，此時(shí)t的值為$\frac{12}{5}$或$\frac{28}{5}$秒；

（3）∠P的大小不發(fā)生變化．
如圖3，∵∠BAO的鄰補(bǔ)角和∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠AOB）+$\frac{1}{2}$（∠BAO+∠AOB），
=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠AOB+∠BAO+∠AOB），
=$\frac{1}{2}$（180°+90°），
=135°，
∴在△PAB中，∠P=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-135°=45°．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及解二元一次方程組的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．