Question

【題目】已知：在四邊形 ABCD 中，∠A+∠C=180°，DB 平分∠ADC.

(1)如圖 1求證:AB=BC

(2)如圖 2，若∠ADB=60°，,試判斷△ABC 的形狀，并說明理由.

(3)如圖 3，在(2)得條件下,在 AB 上取一點(diǎn) E, BC 上取一點(diǎn) F,連接 CE、AF 交于點(diǎn) M,連接 EF,若∠CMF=60°，AD=EF=7，CD=8(CF﹥BF)，求 AE 的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABC是等邊三角形，理由見解析；（3）AE=5.

【解析】

（1）在DC上取一點(diǎn)H使DH=DA，易證△DAB≌△DHB，可得AB=HB，∠A=∠DHB，然后根據(jù)等角的補(bǔ)角相等以及等角對(duì)等邊可得HB=BC，易證結(jié)論；

（2）連結(jié)AC，根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理求出∠ABC =60°，即可得到△ABC是等邊三角形；

（3）過點(diǎn)C作CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出DN=4，NC=，然后利用勾股定理求得AB= AC=13，由ASA證明△CAE≌△ABF，得到AE=BF，過點(diǎn)F作FK⊥AB，設(shè)BK=x，然后用含x的式子表示出FK和EK，在Rt△EFK中通過勾股定理列方程，求出x的值即可得解（注意舍去不合題意的解）.

解：（1）如圖1，在DC上取一點(diǎn)H使DH=DA，

在△DAB和△DHB中，，

∴△DAB≌△DHB（SAS），

∴AB=HB，∠A=∠DHB，

∵∠A+∠C=180°，∠DHB+∠BHC=180°，

∴∠C=∠BHC，

∴HB=BC，

∴AB=BC；

（2）△ABC是等邊三角形，

理由：如圖2，連結(jié)AC，

∵∠ADB=60°，∠A+∠C=180°，

∴∠ADC=120°，

∴∠ABC=180°-∠ADC=60°，

又由（1）得AB=BC，

∴△ABC是等邊三角形；

（3）過點(diǎn)C作CN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵∠ADC=120°，CD=8，

∴∠NDC=60°，

∴DN=4，NC=，

∴AN=AD+DN=11，

∴AC=，

∴AB= AC=13，

∵∠ACE=∠CMF-∠CAM=60°-∠CAM，∠FAB=60°-∠CAM，

∴∠ACE=∠FAB，

在△CAE和△ABF中， ，

∴△CAE≌△ABF（ASA），

∴AE=BF，

過點(diǎn)F作FK⊥AB，

設(shè)BK=x，則BF=2x，FK=x，

∴AE=BF=2x，

∴EK=AB-AE-BK=13-3x，

在Rt△EFK中，EF2=EK2+FK2，

∴72=(13-3x)2+(x)2，

解得：x1=，x2=4（舍去），

∴AE=2x=5.