Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應的任務．

托勒密定理：

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學家，他的要著作《天文學大成》被后人稱為“偉大的數學書”，托勒密有時把它叫作《數學文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：

圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．

已知：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，

求證：ABCD+BCAD＝ACBD

下面是該結論的證明過程：

證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點E．

∵

∴∠ABE＝∠ACD

∴△ABE∽△ACD

∴

∴ABCD＝ACBE

∵

∴∠ACB＝∠ADE（依據1）

∵∠BAE＝∠CAD

∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC

即∠BAC＝∠EAD

∴△ABC∽△AED（依據2）

∴ADBC＝ACED

∴ABCD+ADBC＝AC（BE+ED）

∴ABCD+ADBC＝ACBD

任務：（1）上述證明過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

（2）當圓內接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：　 　．

（請寫出）

（3）如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為的中點，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）上述證明過程中的“依據1”是同弧所對的圓周角相等．“依據2”是兩角分別相等的兩個三角形相似;(2) 勾股定理;(3) .

【解析】

（1）根據圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問題．

（2）利用矩形的性質以及托勒密定理即可判斷．

（3）連接BD，作CE⊥BD于E．首先證明BD＝2DE＝CD，由托勒密定理，構建方程求出AC即可．

（1）上述證明過程中的“依據1”是同弧所對的圓周角相等．

“依據2”是兩角分別相等的兩個三角形相似．

（2）當圓內接四邊形ABCD是矩形時，

則AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，

∵ABCD+ADBC＝ACBD，

∴AB2+AD2＝BD2，

托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：勾股定理，

故答案為勾股定理．

（3）連接BD，作CE⊥BD于E．

∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵∠BAD＝60°，

∴∠BCD＝120°，

∵，

∴CD＝CB，

∴∠CDB＝30°，

在Rt△CDE中，cos30°＝，

∴DE＝CD，

∴BD＝2DE＝CD，

由托勒密定理：ACBD＝ADBC+CDAB，

∴ACCD＝3CD+5CD，

∴AC＝，

答：AC的長為．