Question

19．如圖，AD是⊙O的弦，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，且∠C=30°．給出四個結(jié)論：①BC=BD；②AD=CD；③AB=2BC；④AC=$\sqrt{3}$CD，其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 連接OD，由CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ADO=30°，推出∠A=∠C，根據(jù)等腰三角形的判定得到AD=CD；故②正確；連接BD，推出△DOB是等邊三角形，得到BD=OB，∠ODB=60°，求得∠BDC=∠C=30°，根據(jù)等腰三角形的判定得到BD=BC，故①正確；由于OB=BC=OA=$\frac{1}{2}$AB，得到AB=2BC，故③正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，于是得到AC=3OD=$\sqrt{3}$CD，故④正確．

解答 解：連接OD，
∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC=60°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠A=∠C，
∴AD=CD；故②正確；
連接BD，
∵OD=OB，
∴△DOB是等邊三角形，
∴BD=OB，∠ODB=60°，
∴∠BDC=∠C=30°，
∴BD=BC，故①正確；
∴OB=BC=OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BC，故③正確；
∵∠C=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，
∴AC=3OD=$\sqrt{3}$CD，故④正確；
故選A．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．