Question

矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB為直徑的半圓切CD于E，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與C，D重合），連接AP交半圓于F，連接BP，BF，如圖1．
（1）當(dāng)

AF

=2

BF

時(shí)，圖1中有幾對(duì)全等的三角形？將其表示出來；
（2）P點(diǎn)在CD上移動(dòng)，還有能構(gòu)成全等三角形的情況嗎？若有，請(qǐng)說出還有幾次，并在圖2中用尺規(guī)作出每次構(gòu)成全等三角形時(shí)的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先得出∠FAB=30°，BF=

1

2

AB=2，進(jìn)而利用全等三角形的判定，得出△ABF≌△PAD，以及Rt△BPF≌Rt△BPC，
（2）根據(jù)①當(dāng)AB=PB時(shí)，△AFB≌△PFB，以及②當(dāng)AP=PB時(shí)，△ADP≌△BCP得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)

AF

=2

BF

時(shí)，圖中有兩對(duì)全等的三角形，分別是△ABF≌△PAD，△BPF≌△BPC；  
∵

AF

=2

BF

，
∴∠FAB=30°，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∴BF=

1

2

AB=2，
∵∠DPA=∠PAB，∠ADP=∠AFB，
AD=BF=2，
∴△ABF≌△PAD，
∵BC=BF=2，∠C=∠BFP，PB=PB，
∴Rt△BPF≌Rt△BPC．

（2）還有兩次能構(gòu)成全等三角形的情況．
每次構(gòu)成全等三角形時(shí)的圖形如圖．
①當(dāng)AB=PB時(shí)，△AFB≌△PFB，
②當(dāng)AP=PB時(shí)，△ADP≌△BCP．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知熟練地應(yīng)用全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．