Question

【題目】如圖，⊙M交x軸于B、C兩點，交y軸于A，點M的縱坐標為2．B（﹣3，O），C（，O）．

（1）求⊙M的半徑；

（2）若CE⊥AB于H，交y軸于F，求證：EH=FH．

（3）在（2）的條件下求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析;（3）4．

【解析】

（1）過M作MT⊥BC于T連BM，由垂徑定理可求出BT的長，再由勾股定理即可求出BM的長；

（2）連接AE，由圓周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，進而可得出結(jié)論；

（3）先由（1）中△BMT的邊長確定出∠BMT的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)可求出CG的長，由平行四邊形的判定定理判斷出四邊形AFCG為平行四邊形，進而可求出答案．

（1）如圖（一），過M作MT⊥BC于T連BM，

∵BC是⊙O的一條弦，MT是垂直于BC的直徑，

∴BT=TC=BC=2，

∴BM==4；

（2）如圖（二），連接AE，則∠AEC=∠ABC，

∵CE⊥AB，

∴∠HBC+∠BCH=90°

在△COF中，

∵∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，

在△AEH和△AFH中，

∵，

∴△AEH≌△AFH（AAS），

∴EH=FH；

（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，

作直徑BG，連CG，則∠BGC=∠BAC=60°，

∵⊙O的半徑為4，

∴CG=4，

連AG，

∵∠BCG=90°，

∴CG⊥x軸，

∴CG∥AF，

∵∠BAG=90°，

∴AG⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴AG∥CE，

∴四邊形AFCG為口，

∴AF=CG=4．