Question

【題目】在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F分別是BC，DC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如圖1，當(dāng)BE＝2時(shí)，求FC的長(zhǎng)；

（2）延長(zhǎng)EF交正方形ABCD外角平分線CP于點(diǎn)P．

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②小京通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有AE＝PE．小京把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的三種想法：

想法1：在AB上截取AG＝EC，連接EG，要證AE＝PE，需證△AGE≌△ECP．

想法2：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接BH，CH，EH．要證AE＝PE，需證△EHP為等腰三角形．

想法3：將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BM，連接CM，EM，要證AE＝PE，需證四邊形MCPE為平行四邊形．

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小京證明AE＝PE．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出EC，證明△ABE∽△ECF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)題意畫(huà)圖；
②在AB上截取AG=EC，連接EG，證明△AGE≌△ECP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．

解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，BE＝2，

∴EC＝3．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AGE∽△ECF，

∴，即，

∴FC＝；

（2）①依題意補(bǔ)全圖形：

②證明：在AB上截取AG＝EC，連接EG．

∵AB＝BC，

∴GB＝EB．

∵∠B＝90°，

∴∠BGE＝45°，

∴∠AGE＝135°．

∵∠DCB＝90°，CP是正方形ABCD外角平分線，

∴∠ECP＝135°．

∴∠AGE＝∠ECP．

在△AGE和△ECP中，

，

∴△AGE≌△ECP．

∴AE＝PE．