Question

12．（1）如圖（1），在△ABC和△CDE中，已知AC⊥BC，EC⊥DC，且AC=CD，BC=CE，你能判斷AB與ED的關(guān)系嗎？
（2）若將△ABC沿CD方向平移得到圖（2），請(qǐng)直接判斷△ADE的形狀，不需要說(shuō)明理由；若此時(shí)EC₁=6，AC₂=3，你知道線段C₁C₂的長(zhǎng)度嗎？說(shuō)明你的解題思路．
（3）應(yīng)用上述方法與結(jié)論，按照?qǐng)D（3）中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)你直接寫出圖（3）中實(shí)線所圍成的圖形面積．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△ABC≌△DEC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可得出AB=ED；延長(zhǎng)BA交ED于M，由直角三角形的性質(zhì)好對(duì)頂角相等證出∠E+∠EAM=90°，得出∠EMA=90°，即可得出AB⊥ED；
（2）同（1）得：△ABC₂≌△DEC₁，由全等三角形的性質(zhì)得出C₁D=AC₂=3，DC₂=EC₁=6，即可得出C₁C₂的長(zhǎng)；
（3）作AF⊥l于F，DG⊥l于G，BH⊥l于H，由（1）（2）得：△ACF≌△CDG，△DGE≌△EHB，得出CF=DG=3，AF=CG=6，GE=BH=4，EH=DG=3，求出梯形ABHF的面積、△ACF的面積=△CDG的面積、△DEG的面積=△BEH的面積，即可得出實(shí)線所圍成的圖形面積．

解答 解：（1）能判斷，AB=ED，AB⊥ED；理由如下：
∵AC⊥BC，EC⊥DC，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在△ABC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{BC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=ED，∠B=∠E，延長(zhǎng)BA交ED于M，如圖1所示：
∵∠B+∠BAC=90°，∠EAM=∠BAC，
∴∠E+∠EAM=90°，
∴∠EMA=90°，
∴AB⊥ED；
（2）知道線段C₁C₂的長(zhǎng)度，線段C₁C₂=6，理由如下：
同（1）得：△ABC₂≌△DEC₁，
∴C₁D=AC₂=3，DC₂=EC₁=6，
∴C₁C₂=3+6=9；
（3）作AF⊥l于F，DG⊥l于G，BH⊥l于H，如圖2所示：
由（1）（2）得：△ACF≌△CDG，△DGE≌△EHB，
∴CF=DG=3，AF=CG=6，GE=BH=4，EH=DG=3，
∴梯形ABHF的面積=$\frac{1}{2}$（6+4）×（3+6+4+3）=80，△ACF的面積=△CDG的面積=$\frac{1}{2}$×6×3=9，△DEG的面積=△BEH的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴實(shí)線所圍成的圖形面積=80-9-6=65．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目．考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形和梯形面積的計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．