Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y＝x2﹣4x+m+2的頂點(diǎn)在x軸上．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，

①若在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠POQ＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②拋物線與直線y＝1交于點(diǎn)E，F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），將此拋物線在點(diǎn)E，F（包含點(diǎn)E和點(diǎn)F）之間的部分沿x軸向左平移n個(gè)單位后得到的圖象記為G，若在圖象G上存在點(diǎn)P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+4；（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（4，4）；②在圖象G上存在點(diǎn)P，使得∠POQ＝45°，n的取值范圍為0≤n≤4．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)在x軸上，列式計(jì)算可得m的值；

（2）由∠POQ＝45°，作直線y＝x，交拋物線y＝x2﹣4x+4于點(diǎn)P，聯(lián)立解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）分兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)P，Q在y軸右側(cè)時(shí)與點(diǎn)P，Q在y軸左側(cè)時(shí)，列出不等式求解即可.

解：（1）∵拋物線y＝x2﹣4x+m+2的頂點(diǎn)在x軸上，

∴＝0，

解得：m＝2，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+4．

（2）①作直線y＝x，交拋物線y＝x2﹣4x+4于點(diǎn)P，如圖1所示．

聯(lián)立直線OP及拋物線的表達(dá)式成方程組，得：，

解得：，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（4，4）．

②當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣4x+4＝1，

解得：x1＝1，x2＝3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，1）．

分兩種情況考慮：

（i）當(dāng)點(diǎn)P，Q在y軸右側(cè)時(shí)，∵拋物線y＝x2﹣4x+4與直線y＝x交于點(diǎn)（1，1），

∴當(dāng)1≤3﹣n≤3時(shí)，圖象G上存在點(diǎn)P，使得∠POQ＝45°，解得：0≤n≤2；

（ii）當(dāng)點(diǎn)P，Q在y軸左側(cè)時(shí)，同①可得出，拋物線y＝x2﹣4x+4與直線y＝﹣x交于點(diǎn)（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），

∴當(dāng)﹣1≤3﹣n≤1時(shí)，圖象G上存在點(diǎn)P，使得∠POQ＝45°，解得：2≤n≤4．

綜上所述：若在圖象G上存在點(diǎn)P，使得∠POQ＝45°，n的取值范圍為0≤n≤4．