Question

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90⁰，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線(xiàn)AC、CB于D、E兩點(diǎn)。圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況。

研究：

（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀(guān)察線(xiàn)段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖②加以證明。

（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫(xiě)出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM：MB＝1：3，和前面一樣操作，試問(wèn)線(xiàn)段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖④加以證明。

　

Answer 1

解：（1）連結(jié)PC

    ∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)

   

   

   

   

   

     

    （2）共有四種情況

    ①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，即CE＝0時(shí)，PE＝PB

    

    ③當(dāng)CE＝1時(shí)，此時(shí)PE＝BE

     

    （3）MD：ME＝1：3